Упр.663 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 663. На рисунке 337 BD = DC, DN?ВС, ?BDM = ?MDA. Найдите сумму углов MBN и BMD.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$DNB$$ и $$DNC$$. У них:

$$DN$$ — общая сторона,

$$BD=DC$$ по условию,

$$DN \perp BC,$$ значит $$\angle DNB=\angle DNC=90^\circ.$$

Следовательно, $$\triangle DNB \cong \triangle DNC$$ по двум катетам, откуда

$$\angle BDN=\angle CDN.$$

Обозначим $$\angle BDM=x$$ и $$\angle BDN=y.$$ Тогда из условия $$\angle BDM=\angle MDA$$ получаем, что луч $$DM$$ делит угол $$BDA$$ пополам, поэтому

$$\angle BDA=2x.$$

Так как точки $$A, D, C$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle ADC=180^\circ.$$

С другой стороны, этот угол состоит из трёх углов:

$$\angle ADC=\angle ADM+\angle MDB+\angle BDN+\angle NDC.$$

Поскольку $$\angle ADM=\angle BDM=x,$$ $$\angle MDB=\angle BDM=x,$$ а также $$\angle BDN=\angle CDN=y$$ и $$\angle NDC=\angle BDN=y,$$ получаем

$$180^\circ=x+x+y+y,$$

то есть

$$x+y=90^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$MBD$$. В нём

$$\angle MBD+\angle BMD+\angle BDM=180^\circ.$$

Но $$\angle MBD=\angle MBN$$, так как точки $$B, N, C$$ лежат на одной прямой и луч $$BN$$ совпадает с лучом $$BC$$, а точка $$N$$ лежит на стороне $$BC$$. Кроме того, из предыдущего пункта $$\angle BDN=y=90^\circ-x.$$ Тогда

$$\angle MBN+\angle BMD+\angle BDM=180^\circ,$$

$$\angle MBN+\angle BMD=180^\circ-\angle BDM.$$

Но из соотношения $$x+y=90^\circ$$ и равенства $$\angle BDN=\angle BDM$$ следует, что искомая сумма дополняет угол до развернутого, значит

$$\angle MBN+\angle BMD=180^\circ.$$