Упр.662 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 662. В треугольнике ABC из вершины прямого угла С провели высоту СН и биссектрису СМ. Длина отрезка НМ в 2 раза меньше длины отрезка СМ. Найдите острые углы треугольника ABC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CHM$$. По условию $$HM=\frac12 CM$$, значит в этом треугольнике угол, лежащий против стороны $$HM$$, равен $$30^\circ$$:

$$\angle MCH=30^\circ.$$

Тогда

$$\angle HMC+\angle MCH=90^\circ,$$

откуда

$$\angle HMC=60^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$CMB$$. Так как точки $$H, M, B$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle CMB=180^\circ-\angle HMC=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

Поскольку $$CM$$ — биссектриса угла $$C$$, а $$\angle C=90^\circ$$, получаем

$$\angle MCB=\frac12\angle ACB=\frac12\cdot 90^\circ=45^\circ.$$

Сумма углов треугольника $$CMB$$ равна $$180^\circ$$:

$$\angle MCB+\angle CMB+\angle MBC=180^\circ,$$

$$45^\circ+120^\circ+\angle MBC=180^\circ,$$

$$\angle MBC=15^\circ.$$

Так как точка $$M$$ лежит на стороне $$AB$$, то $$\angle MBC=\angle ABC$$. Следовательно,

$$\angle B=15^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$

$$\angle A+\angle B=90^\circ,$$

значит

$$\angle A=90^\circ-15^\circ=75^\circ.$$

Ответ

$$75^\circ,\ 15^\circ$$