Упр.661 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 661. Через середину О стороны МК треугольника МКН провели прямую, перпендикулярную стороне МК и пересекающую сторону MN в точке С. Известно, что МС = KN, ?N = 50°. Найдите угол МСО.

Рассмотрим треугольник $$MCK$$. Так как $$O$$ — середина стороны $$MK$$ и $$OC \perp MK$$, то $$CO$$ — медиана и высота. Значит, треугольник $$MCK$$ равнобедренный, и

$$CK=CM,$$

следовательно,

$$\angle CMK=\angle CKM.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$CKN$$. По условию $$MC=KN$$, а из равенства $$CK=CM$$ получаем

$$NK=CM=CK.$$

Значит, треугольник $$CKN$$ равнобедренный, поэтому

$$\angle NCK=\angle CNK=50^\circ.$$

В треугольнике $$MCK$$ внешний угол при вершине $$C$$ равен сумме двух внутренних несмежных углов:

$$\angle MCK+\angle CNK=180^\circ,$$

откуда

$$\angle MCK+50^\circ=180^\circ,$$

$$\angle MCK=130^\circ.$$

Сумма углов треугольника $$MCK$$ равна $$180^\circ$$:

$$\angle CMK+\angle CKM+\angle MCK=180^\circ,$$

$$\angle CMK+\angle CMK+130^\circ=180^\circ,$$

$$2\angle CMK=50^\circ,$$

$$\angle CMK=25^\circ.$$

Так как $$OC \perp MK$$, то в прямоугольном треугольнике $$MCO$$

$$\angle MCO+\angle CMO=90^\circ.$$

Но $$\angle CMO=\angle CMK=25^\circ$$, значит

$$\angle MCO=90^\circ-25^\circ=65^\circ.$$

Ответ

$$65^\circ$$