Упр.657 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 657. Постройте треугольник по высоте и медиане, проведённым из одной вершины, и радиусу описанной окружности.

Подробный ответ

Пусть дана высота $$h$$, медиана $$m$$, проведённые из одной вершины, и радиус описанной окружности $$R$$.

Построим произвольную прямую и отметим на ней точку $$H$$. Через точку $$H$$ проведём перпендикуляр к этой прямой и отложим на нём отрезок $$HG=h$$.

Из точки $$H$$ проведём окружность радиуса $$R$$. В точке $$G$$ проведём перпендикуляр к прямой $$HG$$ и отметим точку $$K$$ на его пересечении с окружностью.

Из точки $$K$$ проведём окружность радиуса $$m$$. Отметим точку $$O$$ на её пересечении с прямой $$HG$$.

Из точки $$O$$ проведём окружность радиуса $$m$$. Отметим точки $$M$$ и $$N$$ на её пересечениях с прямой.

Тогда $$MN$$ — искомая сторона треугольника, а точка $$K$$ — его вершина, из которой проведены высота и медиана.

Действительно, по построению $$KH=R$$, значит точка $$K$$ лежит на описанной окружности треугольника $$MKN$$ с центром в точке $$H$$. Кроме того, $$GH \perp MN$$, следовательно, $$GH$$ — высота. Так как $$O$$ — середина отрезка $$MN$$, то $$KO$$ — медиана. При этом $$KO=m$$.

Следовательно, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.