Упр.653 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 653. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и сумме двух других сторон.

Обозначим данную сторону через $$a$$, противолежащий ей угол — через $$\angle O$$, а сумму двух других сторон — через $$b+c$$.

Построим угол $$E$$, равный данному углу $$O$$, и проведём его биссектрису.

На биссектрисе отложим от вершины $$E$$ отрезок $$EK$$, равный данной стороне $$CD$$.

Из точки $$K$$ проведём окружность радиуса $$AB$$. Пусть она пересечёт одну из сторон угла $$E$$ в точке $$M$$.

Построим серединный перпендикуляр к отрезку $$EM$$. Обозначим точку его пересечения с биссектрисой угла $$E$$ через $$N$$.

Тогда точка $$N$$ равноудалена от сторон угла $$E$$, а значит, лежит на биссектрисе. Кроме того, из построения $$NE=NM$$, поэтому точка $$N$$ принадлежит серединному перпендикуляру к $$EM$$.

Теперь построим окружность с центром в $$N$$ и радиусом $$NE$$. Она пересечёт биссектрису угла $$E$$ в точке $$K$$ и сторону угла в точке $$M$$ так, что $$EM$$ и $$EK$$ будут искомыми сторонами треугольника.

Соединим точки $$M$$ и $$K$$. Получим треугольник $$EMK$$, в котором:

• $$\angle E = \angle O$$;
• $$EK = CD$$;
• $$EM + MK = AB + CD$$, то есть сумма двух других сторон равна заданной.

Следовательно, построенный треугольник удовлетворяет условию задачи.

Ответ

Построение выполнено.