Упр.651 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 651. Постройте треутольник по стороне, прилежащему к ней углу и разности двух других сторон.

Подробный ответ

Пусть в искомом треугольнике дана сторона $$AB$$, прилежащий к ней угол $$\angle B$$ и разность двух других сторон $$AC-BC$$. Обозначим эту разность через $$CD$$, то есть $$AC-BC=CD$$.

Построим угол $$M$$, равный данному углу $$B$$.

На одной стороне угла отложим отрезок $$MK=AB$$.

На другой стороне угла отложим отрезок $$ME=CD$$.

Построим серединный перпендикуляр к отрезку $$EK$$ и отметим точку $$N$$ на его пересечении с прямой $$ME$$.

Тогда $$NE=NK$$, а значит, точка $$N$$ равноудалена от точек $$E$$ и $$K$$. Следовательно,

$$NK-NE=EK.$$

Так как $$N\in ME$$, то $$NK=MN+MK$$ и $$NE=MN+ME$$, поэтому

$$NK-NE=MK-ME=AB-CD.$$

С другой стороны, по построению $$MK=AB$$ и $$ME=CD$$, значит, точка $$N$$ выбрана так, что

$$NK=AB,\qquad NE=BC.$$

Теперь проведём через точку $$N$$ прямую, параллельную $$MK$$, и через точку $$K$$ — прямую, параллельную $$ME$$. Их пересечение обозначим через $$A$$. Тогда получим треугольник $$ABC$$, в котором

$$AB=MK,\qquad \angle B=\angle M,\qquad AC-BC=CD.$$

Следовательно, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.