Упр.650 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 650. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон.

Подробный ответ

Пусть требуется построить треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и сумме двух других сторон. Обозначим данную сторону через $$AB$$, прилежащий к ней угол — через $$\angle O$$, а сумму двух других сторон — через $$CD$$.

Построим угол $$M$$, равный данному углу $$O$$.

На одной стороне угла отложим отрезок $$MK=AB$$.

На другой стороне угла отложим отрезок $$ME=CD$$.

Построим серединный перпендикуляр к отрезку $$EK$$ и обозначим через $$N$$ точку его пересечения с прямой $$ME$$.

Тогда $$NE=NK$$, а значит, точка $$N$$ выбрана так, что

$$NE+NK=ME.$$

Следовательно, если взять точку $$N$$ на стороне угла $$ME$$, то отрезок $$KN$$ будет равен одной из сторон искомого треугольника, а отрезок $$EN$$ — другой.

Соединим точки $$K$$ и $$N$$, а также $$N$$ и $$M$$. Получим треугольник $$KMN$$.

Докажем, что он искомый. Действительно, $$MK=AB$$ по построению, $$\angle KMN=\angle O$$ по построению угла $$M$$, а так как $$N$$ лежит на серединном перпендикуляре к $$EK$$, то $$NE=NK$$. Кроме того, $$ME=CD$$, значит, сумма двух сторон треугольника $$KMN$$ равна заданной сумме двух сторон.

Итак, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.