Упр.648 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 648. Постройте прямоугольный треутольник по катету и разности гипотенузы и друтого катета.

Обозначим катет искомого прямоугольного треугольника через $$a$$, другой катет — через $$b$$, гипотенузу — через $$c$$. По условию известны $$a$$ и разность $$c-b$$.

Построим две взаимно перпендикулярные прямые и обозначим их пересечение точкой $$N$$. На одной прямой отложим отрезок $$NK=a$$, а на другой — отрезок $$NE=c-b$$.

Построим серединный перпендикуляр к отрезку $$KE$$. Обозначим точку его пересечения с прямой $$NE$$ через $$M$$.

Тогда точка $$M$$ равноудалена от точек $$K$$ и $$E$$, значит

$$MK=ME.$$

Поскольку $$N, E, M$$ лежат на одной прямой, а $$N$$ — между $$E$$ и $$M$$, получаем

$$ME=MN+NE.$$

Из построения $$NE=c-b$$, а также $$NK=a$$. Рассмотрим треугольник $$KNM$$. Так как $$NK \perp NM$$, то он прямоугольный, и его гипотенуза равна $$KM$$.

Из равенства $$MK=ME$$ и того, что $$ME=MN+NE$$, следует, что точка $$M$$ выбрана так, чтобы выполнялось

$$KM=MN+NE.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$KNM$$ имеем

$$KM^2=NK^2+NM^2.$$

После построения точки $$M$$ соединяем её с точкой $$K$$. Треугольник $$KNM$$ и есть искомый: один его катет равен $$NK=a$$, а разность гипотенузы и другого катета равна заданному отрезку $$NE=c-b$$.

Следовательно, построение выполнено.

Ответ

Построение: две перпендикулярные прямые, на них отложить $$NK$$, равный данному катету, и $$NE$$, равный разности гипотенузы и другого катета; построить серединный перпендикуляр к $$KE$$, взять точку $$M$$ его пересечения с прямой $$NE$$ и соединить $$M$$ с $$K$$.