Упр.645 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 645. Постройте прямоугольный треугольник по катету и сумме гипотенузы и другого катета.

Подробный ответ

Обозначим катет искомого прямоугольного треугольника через $$a$$, гипотенузу — через $$c$$, второй катет — через $$b$$. По условию известно, что $$a$$ задан, а также задана сумма $$c+b$$.

Построим две взаимно перпендикулярные прямые и обозначим их пересечение точкой $$N$$. На одной из этих прямых отложим отрезок $$NK$$, равный заданному катету: $$NK=a$$. На другой прямой отложим отрезок $$NE$$, равный сумме гипотенузы и второго катета: $$NE=c+b$$.

Построим серединный перпендикуляр к отрезку $$KE$$ и обозначим через $$M$$ точку его пересечения с прямой $$NE$$. Тогда точка $$M$$ равноудалена от точек $$K$$ и $$E$$, то есть

$$MK=ME.$$

Так как $$M \in NE$$, то

$$NE=NM+ME.$$

С другой стороны, из равенства $$MK=ME$$ получаем, что

$$NE=NM+MK.$$

Но $$NM$$ — это искомый катет $$b$$, а $$MK$$ — гипотенуза $$c$$. Следовательно,

$$NE=b+c,$$

а построенный треугольник $$NKM$$ прямоугольный, так как $$NK \perp NE$$ и точка $$M$$ лежит на прямой $$NE$$. Значит, $$\angle KNM=90^\circ$$.

Итак, треугольник $$NKM$$ является искомым: $$NK$$ — заданный катет, $$NM$$ — второй катет, $$KM$$ — гипотенуза.