Упр.640 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 640. Даны две параллельные прямые и секущая. Постройте окружность, касающуюся этих трёх прямых.

Пусть даны две параллельные прямые и секущая, пересекающая их в точках $$A$$ и $$B$$. Обозначим вторую параллельную прямую через $$BC$$, а первую — через $$AD$$.

Чтобы окружность касалась обеих параллельных прямых, её центр должен быть равноудалён от них. Значит, центр окружности лежит на прямой, параллельной данным и проходящей посередине между ними.

Кроме того, чтобы окружность касалась секущей $$AB$$, её центр должен лежать на биссектрисе угла между секущей и одной из параллельных прямых. Поэтому строим биссектрису угла $$BAD$$.

Далее:

• на прямой $$AD$$ отмечаем произвольную точку $$E$$;
• в точке $$E$$ проводим перпендикуляр к прямой $$AD$$;
• обозначаем точку пересечения этого перпендикуляра с прямой $$BC$$ через $$F$$;
• строим серединный перпендикуляр к отрезку $$EF$$;
• точку его пересечения с биссектрисой угла $$BAD$$ обозначаем через $$O$$.

Точка $$O$$ равноудалена от прямых $$AD$$ и $$BC$$, а также от секущей $$AB$$. Следовательно, $$O$$ — центр искомой окружности.

Из точки $$O$$ проводим окружность радиуса $$OE$$, то есть радиуса, равного половине отрезка $$EF$$:

$$r=\frac{EF}{2}$$

Построенная окружность касается всех трёх прямых.

Ответ

Построение выполнено: центр окружности — точка пересечения биссектрисы угла $$BAD$$ и серединного перпендикуляра к отрезку $$EF$$, радиус $$r=\frac{EF}{2}$$.