Упр.635 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 635. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиане, проведённой к боковой стороне.

Подробный ответ

Пусть дана боковая сторона равнобедренного треугольника $$AB$$ и медиана $$CD$$, проведённая к этой стороне.

Построим отрезок $$HM$$, равный отрезку $$CD$$.

Из точки $$H$$ проведём окружность радиуса $$\frac{CD}{2}$$.

Из точки $$M$$ проведём окружность радиуса $$AB$$.

Обозначим через $$K$$ одну из точек пересечения этих окружностей.

Тогда $$HK=\frac{CD}{2}$$, а $$MK=AB$$.

Проведём через точку $$K$$ окружность радиуса $$AB$$. Пусть она пересекает прямую $$KH$$ в точке $$N$$.

Тогда $$KN=AB$$, а так как $$H$$ — середина отрезка $$MN$$, то $$HM=HN= \frac{MN}{2}$$.

Соединим точки $$K$$ и $$M$$, $$K$$ и $$N$$. Получим треугольник $$KMN$$.

В нём $$KM=KN=AB$$, значит, треугольник $$KMN$$ равнобедренный. Кроме того, точка $$H$$ лежит на стороне $$MN$$ и $$MH=HN$$, следовательно, $$KH$$ — медиана к стороне $$MN$$.

Так как $$HK=\frac{CD}{2}$$, то $$CD=2HK$$, то есть медиана $$KH$$ соответствует заданной медиане $$CD$$. Следовательно, построенный треугольник удовлетворяет условию задачи.