Упр.621 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 621. На листе бумаги нарисовали равносторонний треугольник и полностью накрыли его двумя другими равносторонними треугольниками разных размеров. Докажите, что для покрытия хватило бы одного из этих треугольников.

Пусть исходный равносторонний треугольник полностью накрыт двумя другими равносторонними треугольниками разных размеров.

Так как исходный треугольник целиком покрыт, то все его три вершины лежат внутри хотя бы одного из накрывающих треугольников. Обозначим этот треугольник через $$T_1$$.

Внутри равностороннего треугольника любой отрезок меньше его стороны. Значит, расстояние между любыми двумя точками, лежащими внутри $$T_1$$, меньше стороны $$T_1$$.

Но в исходном треугольнике внутри $$T_1$$ лежат две его вершины, а расстояние между ними равно стороне исходного треугольника. Следовательно, сторона $$T_1$$ больше стороны исходного треугольника.

Тогда и третья вершина исходного треугольника тоже лежит внутри $$T_1$$, а значит, весь исходный треугольник целиком помещается в $$T_1$$.

Следовательно, для покрытия исходного равностороннего треугольника достаточно одного из двух накрывающих треугольников.

Ответ

Достаточно одного из накрывающих равносторонних треугольников.