Упр.619 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 619. Серединный перпендикуляр гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС пересекает катет ВС в точке М. Известно, что ?МАС : ?MAB = 8 : 5. Найдите острые углы треугольника АВС.

Так как точка $$M$$ лежит на серединном перпендикуляре к гипотенузе $$AB$$, то $$MA=MB$$. Значит, треугольник $$AMB$$ равнобедренный, поэтому

$$\angle MAB=\angle ABM.$$

Поскольку точки $$M$$ и $$C$$ лежат на одной прямой, а $$BC \perp AC$$, то в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ имеем

$$\angle BAC+\angle ABC=90^\circ.$$

Угол $$\angle BAC$$ состоит из двух углов:

$$\angle BAC=\angle MAC+\angle MAB.$$

По условию

$$\angle MAC:\angle MAB=8:5,$$

то есть

$$\angle MAC=\frac{8}{5}\angle MAB.$$

Тогда

$$\angle BAC=\frac{8}{5}\angle MAB+\angle MAB=\frac{13}{5}\angle MAB.$$

Так как $$\angle ABC=\angle MAB$$, получаем

$$\frac{13}{5}\angle MAB+\angle MAB=90^\circ,$$

$$\frac{18}{5}\angle MAB=90^\circ,$$

$$\angle MAB=25^\circ.$$

Тогда

$$\angle ABC=25^\circ,$$

$$\angle BAC=\frac{13}{5}\cdot 25^\circ=65^\circ.$$

Ответ

$$\angle BAC=65^\circ,\ \angle ABC=25^\circ.$$