Упр.617 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 617. В треугольнике АВС АВ = ВС, АЕ и CF — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что EF?АС.

1) Так как $$AB=BC,$$ то $$\triangle ABC$$ равнобедренный, значит

$$\angle BAC=\angle BCA.$$

Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, поэтому

$$\angle ABC=180^\circ-2\angle BAC.$$

2) Рассмотрим треугольники $$AFC$$ и $$CEA$$.

Поскольку $$CF$$ — биссектриса угла $$C,$$ а $$AE$$ — биссектриса угла $$A,$$ то

$$\angle ACF=\frac12\angle BCA=\frac12\angle BAC=\angle CAE.$$

Кроме того, $$AC$$ — общая сторона.

Следовательно, $$\triangle AFC \cong \triangle CEA$$ по второму признаку равенства треугольников.

Отсюда

$$\angle AFE=\angle CEF.$$

3) Рассмотрим треугольник $$FBE.$$ Тогда

$$\angle EFB=180^\circ-\angle AFE,$$

$$\angle FEB=180^\circ-\angle CEF.$$

Так как $$\angle AFE=\angle CEF,$$ то $$\angle EFB=\angle FEB.$$

Значит, $$\triangle FBE$$ равнобедренный, и

$$\angle EFB+\angle FEB+\angle FBE=180^\circ.$$

Но точки $$A, F, B$$ лежат на одной прямой, поэтому $$\angle FBE=\angle ABC.$$ Тогда

$$\angle EFB+\angle FEB+\angle ABC=180^\circ.$$

Так как $$\angle EFB=\angle FEB,$$ получаем

$$2\angle EFB+180^\circ-2\angle BAC=180^\circ,$$

$$2\angle EFB=2\angle BAC,$$

$$\angle EFB=\angle BAC.$$

4) Для прямых $$AC$$ и $$FE$$ и секущей $$AB$$ имеем равные соответственные углы:

$$\angle CAB=\angle EFB.$$

Следовательно,

$$FE \parallel AC.$$

Ответ

$$EF \parallel AC.$$