Упр.616 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 616. Как разделить на три равные части угол, равный 54°?

Подробный ответ

Пусть дан угол $$\angle BAC=54^\circ.$$

Отметим точки $$M, N, K$$ так, чтобы $$MK=MN=KN.$$ Тогда треугольник $$MKN$$ равносторонний, значит

$$\angle KMN=60^\circ.$$

Отложим угол $$NMP$$ так, чтобы $$\angle NMP=\angle BAC=54^\circ.$$ Тогда

$$\angle KMP=\angle KMN-\angle NMP=60^\circ-54^\circ=6^\circ.$$

Внутри угла $$\angle BAC$$ отложим три угла, равных $$\angle KMP$$. Сторону третьего угла обозначим лучом $$AQ$$. Проведём биссектрису $$AR$$ угла $$CAQ$$.

Тогда

$$\angle BAQ=3\angle KMP=3\cdot 6^\circ=18^\circ,$$

$$\angle QAC=\angle BAC-\angle BAQ=54^\circ-18^\circ=36^\circ,$$

$$\angle QAR=\angle RAC=\frac{1}{2}\angle QAC=\frac{1}{2}\cdot 36^\circ=18^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle BAQ=\angle QAR=\angle RAC=18^\circ,$$

то есть угол $$54^\circ$$ разделён на три равные части.