Упр.615 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 615. Постройте треугольник, если даны три точки, в которых вписанная окружность касается его сторон.

Пусть точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ — точки касания вписанной окружности со сторонами искомого треугольника.

Центр вписанной окружности равноудалён от всех сторон треугольника, а значит, лежит на биссектрисах его углов. Поэтому сначала построим центр окружности.

Построим серединный перпендикуляр к отрезку $$AB$$ и серединный перпендикуляр к отрезку $$AC$$. Их точка пересечения — это центр окружности $$O$$, проходящей через точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$.

Далее проведём прямые $$OA$$, $$OB$$ и $$OC$$. В точках $$A$$, $$B$$ и $$C$$ восстановим перпендикуляры к этим прямым. Эти перпендикуляры и будут сторонами искомого треугольника, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Обозначим точки пересечения построенных прямых через $$M$$, $$N$$ и $$K$$. Тогда треугольник $$MNK$$ — искомый.

Проверка: окружность с центром $$O$$ касается сторон $$MN$$, $$NK$$ и $$KM$$ в точках $$A$$, $$B$$ и $$C$$ соответственно, поскольку

$$OA \perp MN,\quad OB \perp NK,\quad OC \perp KM.$$

Ответ

Построить окружность через точки $$A$$, $$B$$, $$C$$; затем провести в точках $$A$$, $$B$$, $$C$$ касательные к этой окружности. Полученный треугольник и есть искомый.