Упр.614 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 614. Постройте треугольник по стороне и проведённым к этой стороне высоте и медиане.

Подробный ответ

Пусть дана сторона треугольника $$AB$$, а также проведённые к ней высота $$CD$$ и медиана $$EF$$.

Построим отрезок $$MN$$, равный отрезку $$AB$$.

Построим серединный перпендикуляр к отрезку $$MN$$ и обозначим точку его пересечения с отрезком $$MN$$ через $$G$$. Тогда $$G$$ — середина $$MN$$.

На этом перпендикуляре отложим отрезок $$GH=CD$$.

С центром в точке $$G$$ проведём окружность радиуса $$EF$$.

Через точку $$H$$ проведём прямую, перпендикулярную прямой $$GH$$. Точка её пересечения с окружностью обозначим через $$K$$.

Соединим точки $$K$$ и $$M$$, а также $$K$$ и $$N$$. Получим треугольник $$KMN$$.

Проверим построение: так как $$GH \perp MN$$ и $$GH=CD$$, то высота треугольника равна заданной. Поскольку $$G$$ — середина $$MN$$ и $$GK=EF$$, точка $$K$$ лежит на окружности с центром в середине основания, значит отрезок, соединяющий вершину с серединой основания, равен медиане $$EF$$. Следовательно, построенный треугольник удовлетворяет условию.