Упр.613 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 613. Постройте треугольник по радиусу вписанной окружности и отрезкам, на которые точка касания вписанной окружности делит одну из сторон.

Пусть на одной из сторон искомого треугольника точка касания вписанной окружности делит её на отрезки $$AB$$ и $$CD$$, а радиус вписанной окружности равен $$EF$$.

Построим две взаимно перпендикулярные прямые и обозначим их точку пересечения через $$H$$.

На одной из этих прямых отложим отрезок $$HO=EF$$.

На второй прямой отложим отрезки $$HN=AB$$ и $$HM=CD$$.

Затем построим два угла $$\angle ONK=\angle HNO$$ и $$\angle OMK=\angle HMO$$. Точку пересечения этих лучей обозначим через $$K$$.

Тогда треугольник $$KNM$$ — искомый: окружность с центром $$O$$ и радиусом $$HO$$ касается стороны $$NM$$, а отрезки касания на этой стороне равны заданным $$AB$$ и $$CD$$.

Построение основано на свойстве касательной к окружности: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Поэтому углы при точках $$N$$ и $$M$$ строятся так, чтобы стороны треугольника были касательными к окружности.

Ответ

Построить две перпендикулярные прямые, отложить на них $$HO=EF$$, $$HN=AB$$, $$HM=CD$$, затем построить углы $$\angle ONK=\angle HNO$$ и $$\angle OMK=\angle HMO$$; точка их пересечения $$K$$ задаёт искомый треугольник $$KNM$$.