Упр.599 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 599. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу вписанной окружности.

Подробный ответ

Пусть дано основание $$AB$$ и радиус вписанной окружности $$r$$.

1) Построим отрезок $$MN$$, равный отрезку $$AB$$.

2) Построим серединный перпендикуляр к отрезку $$MN$$. Обозначим точку его пересечения с прямой $$MN$$ через $$E$$.

3) На перпендикуляре к $$MN$$ через точку $$E$$ отложим отрезок $$EO=r$$.

4) Построим угол $$ONK$$ так, чтобы $$\angle ONK=\angle ONE$$.

5) Точку $$K$$ возьмём на пересечении луча $$NK$$ с прямой $$OE$$.

Тогда точки $$M$$ и $$N$$ лежат на одной прямой, $$E$$ — середина основания $$MN$$, а прямая $$OE$$ является осью симметрии треугольника. Поэтому $$KM=KN$$, следовательно, построенный треугольник $$MKN$$ равнобедренный.

Так как расстояние от точки $$E$$ до стороны $$MN$$ равно $$EO=r$$, то окружность с центром в точке $$E$$ и радиусом $$r$$ касается основания $$MN$$. По построению вершина $$K$$ лежит на биссектрисе угла при вершине, значит, эта окружность является вписанной в треугольник $$MKN$$.

Итак, построен равнобедренный треугольник по основанию и радиусу вписанной окружности.