Упр.598 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

1) по катету и медиане, проведённой к другому катету;
2) по острому углу и высоте, проведённой из вершины прямого угла.

Подробный ответ

1) Пусть даны катет $$AB$$ и медиана $$CD$$, проведённая к другому катету.

Построим две перпендикулярные прямые и обозначим их пересечение буквой $$N$$. На одной из прямых отложим отрезок $$NK=AB$$. Из точки $$K$$ проведём окружность радиуса $$CD$$ и отметим точку $$E$$ её пересечения с другой прямой. На прямой $$NE$$ отложим отрезок $$EM=NE$$.

Тогда точки $$K, N, E, M$$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $$NK$$ — катет, а $$NE$$ — другой катет. Так как $$EM=NE$$, точка $$E$$ является серединой отрезка $$NM$$. Следовательно, $$KE=CD$$, а значит, $$CD$$ — медиана к катету $$NM$$. Полученный треугольник — искомый.

2) Пусть даны острый угол $$C$$ и высота, проведённая из вершины прямого угла, то есть $$AB$$.

Построим угол $$M$$, равный данному углу $$C$$. На его стороне отметим произвольную точку $$D$$. Через точку $$D$$ проведём перпендикуляр к прямой $$MD$$ и отложим на нём отрезок $$DE=AB$$. Затем через точку $$E$$ проведём перпендикуляр к прямой $$NE$$. Точку $$N$$ возьмём на пересечении этого перпендикуляра с углом $$M$$. Через точку $$N$$ проведём перпендикуляр к прямой $$MN$$ и отметим точку $$K$$ на его пересечении с прямой $$MD$$.

Тогда $$\angle KNE=90^\circ$$, а также $$\angle M= \angle C$$. Следовательно, построенный треугольник имеет заданный острый угол и заданную высоту $$AB$$, проведённую из вершины прямого угла. Значит, это искомый прямоугольный треугольник.