Упр.589 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 589. Постройте окружность, касающуюся сторон данного угла, причём одной из них — в данной точке.

Пусть дан угол с вершиной в точке $$C$$, одна из его сторон проходит через точку $$A$$.

Чтобы окружность касалась обеих сторон угла, её центр должен лежать на биссектрисе этого угла. Кроме того, если окружность касается стороны угла в точке $$A$$, то радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен этой стороне.

Построим биссектрису $$CD$$ данного угла.

Через точку $$A$$ проведём прямую, перпендикулярную стороне $$CA$$.

Обозначим через $$O$$ точку пересечения этой прямой с биссектрисой $$CD$$.

Тогда $$O$$ — центр искомой окружности, а радиус равен $$OA$$. Проведём окружность с центром в точке $$O$$ и радиусом $$OA$$.

По построению она касается стороны $$CA$$ в точке $$A$$, а так как центр лежит на биссектрисе угла, то окружность касается и второй стороны угла.

Ответ

Построить биссектрису угла, через данную точку на его стороне провести перпендикуляр к этой стороне; точка пересечения перпендикуляра с биссектрисой — центр искомой окружности. Окружность с этим центром и радиусом, равным расстоянию до точки касания, касается обеих сторон угла.