Упр.585 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 585. Через данную точку, принадлежащую углу, проведите прямую, отсекающую на сторонах угла равные отрезки.

Проведём биссектрису $$OD$$ угла $$O$$.

Из точки $$A$$ опустим перпендикуляр $$AH$$ на прямую $$OD$$.

Через точку $$A$$ проведём прямую, перпендикулярную $$AH$$. Она пересечёт стороны угла в точках $$E$$ и $$F$$.

Так как $$AH \perp OD$$, а прямая $$EF \perp AH$$, то $$EF \parallel OD$$.

Тогда углы $$\angle OEF$$ и $$\angle EOD$$ равны, а также $$\angle OFE$$ и $$\angle ODO$$ равны. Следовательно, треугольники, образованные биссектрисой и параллельной ей прямой, подобны, и точка $$A$$ лежит на прямой, проходящей через середину отрезка между сторонами угла.

Из свойства биссектрисы: любая точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон. Поэтому расстояния от точки $$A$$ до сторон угла равны, а значит, отрезки, отсекаемые прямой $$EF$$ на сторонах угла, тоже равны:

$$OE = OF.$$

Следовательно, искомая прямая — это прямая, проходящая через данную точку и параллельная биссектрисе угла.

Ответ

Через данную точку проведите прямую, параллельную биссектрисе угла; она отсекает на его сторонах равные отрезки.