Упр.579 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 579. Постройте угол, равный: 1) 30°; 2) 22°30′; 3) 15°.

Подробный ответ

1) Построим угол $$30^\circ$$.

Построим отрезок $$AB$$. Проведём окружности с центрами $$A$$ и $$B$$ радиуса $$AB$$. Обозначим точки $$C$$ и $$D$$ их пересечения. Тогда $$AC=BC=AB$$, значит треугольник $$ABC$$ равносторонний и $$\angle ACB=60^\circ$$.

Поскольку точки $$C$$ и $$D$$ лежат на одной прямой, проходящей через центр симметрии построения, прямая $$CD$$ делит угол $$ACB$$ пополам. Следовательно,

$$\angle ACD=\frac{1}{2}\angle ACB=\frac{1}{2}\cdot 60^\circ=30^\circ.$$

2) Построим угол $$22^\circ 30’$$.

Проведём прямую $$AB$$. Построим окружность с центром $$A$$ произвольного радиуса и отметим точки $$M$$ и $$N$$ её пересечения с прямой $$AB$$. Затем проведём окружности с центрами $$M$$ и $$N$$ одинакового радиуса; пусть они пересекутся в точках, через которые проведём прямую. Эта прямая пересечёт окружность с центром $$A$$ в точке $$C$$.

Тогда $$AC=AB$$, значит треугольник $$ABC$$ равнобедренный, а построенная прямая является серединным перпендикуляром к $$MN$$ и одновременно биссектрисой угла $$ABC$$. Поэтому

$$\angle ABK=\frac{1}{2}\angle ABC.$$

Так как в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ угол при вершине $$A$$ равен $$45^\circ$$, то

$$\angle ABC=45^\circ,$$

следовательно,

$$\angle ABK=\frac{45^\circ}{2}=22^\circ 30′.$$

3) Построим угол $$15^\circ$$.

Построим отрезок $$AB$$. Проведём окружности с центрами $$A$$ и $$B$$ радиуса $$AB$$. Обозначим точки $$C$$ и $$D$$ их пересечения. Тогда треугольник $$ABC$$ равносторонний, поэтому

$$\angle DCB=60^\circ.$$

Построим биссектрису $$CE$$ угла $$DCB$$. Тогда

$$\angle BCE=\frac{1}{2}\angle DCB=\frac{1}{2}\cdot 30^\circ=15^\circ.$$