Упр.572 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 572. В треугольнике АВС АВ = ВС, АМ и СК — медианы этого треугольника. Докажите, что МК?АС.

Подробный ответ

Так как $$AB=BC,$$ то треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC.$$ Тогда его углы при основании равны, а значит

$$\angle ABC=180^\circ-2\angle BAC.$$

Рассмотрим треугольник $$KBM.$$ Поскольку $$K$$ и $$M$$ — середины сторон $$AB$$ и $$BC$$, то

$$BK=\frac12 AB,\qquad BM=\frac12 BC.$$

Но $$AB=BC,$$ следовательно, $$BK=BM,$$ значит, треугольник $$KBM$$ равнобедренный.

Тогда его углы при основании равны:

$$\angle BKM=\frac12\left(180^\circ-\angle KBM\right).$$

Так как точки $$B, M, C$$ лежат на одной прямой, то $$\angle KBM=\angle ABC.$$ Поэтому

$$\angle BKM=\frac12\left(180^\circ-\angle ABC\right).$$

Подставим выражение для $$\angle ABC$$:

$$ \angle BKM=\frac12\left(180^\circ-\left(180^\circ-2\angle BAC\right)\right)=\angle BAC. $$