Упр.568 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 568. Точки F и О — центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника ABC соответственно (рис. 312). Они находятся на одинаковом расстоянии от его основания АС. Найдите утлы треугольника АВС.
Обозначим через $$H$$ точку пересечения высоты $$BH$$ с основанием $$AC$$. Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный, то $$BH$$ является одновременно высотой и медианой, значит $$AH=HC$$.
Поскольку $$F$$ — центр вписанной окружности, то он лежит на биссектрисе угла $$B$$, а значит $$F \in BH$$. Поскольку $$O$$ — центр описанной окружности равнобедренного треугольника, то он тоже лежит на оси симметрии треугольника, то есть $$O \in BH$$. По условию $$FH=OH$$, следовательно, точки $$F$$ и $$O$$ расположены симметрично относительно точки $$H$$.
Рассмотрим треугольник $$FAO$$. Так как $$AH$$ — медиана к основанию равнобедренного треугольника $$FAO$$, то она является и высотой, поэтому
$$\angle FAH=\angle HAO=\frac{1}{2}\angle FAO.$$
Отсюда
$$\angle FAO=180^\circ-2\angle AOF,$$
а значит
$$\angle FAH=90^\circ-\angle AOF.$$
Аналогично, в равнобедренном треугольнике $$BOA$$ имеем
$$\angle ABO=\angle OAB,$$
поэтому
$$\angle BOA=180^\circ-2\angle ABO.$$
Так как точки $$F, H, O$$ лежат на одной прямой и $$FH=OH$$, то углы, образованные лучами, связанными с этой осью симметрии, дают
$$\angle BAC=2\angle FAH.$$
Подставим найденное выражение для $$\angle FAH$$:
$$\angle BAC=180^\circ-2\angle AOF.$$
С другой стороны, из равенства углов при основании равнобедренного треугольника $$ABC$$ получаем $$\angle A=\angle C$$, а потому
$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$
то есть
$$2\angle A+\angle B=180^\circ.$$
Поскольку $$\angle B=2\angle ABH$$, а $$\angle A=\angle BAC$$, имеем
$$2\angle BAC+2\angle ABH=180^\circ,$$
$$\angle BAC+\angle ABH=90^\circ.$$
Из соотношений для углов получаем
$$4\angle ABH-180^\circ+\angle ABH=90^\circ,$$
$$5\angle ABH=270^\circ,$$
$$\angle ABH=54^\circ.$$
Тогда
$$\angle B=2\angle ABH=108^\circ,$$
а углы при основании равны:
$$\angle A=\angle C=\frac{180^\circ-108^\circ}{2}=36^\circ.$$
Ответ
$$\angle A=36^\circ,\ \angle B=108^\circ,\ \angle C=36^\circ.$$
