Упр.566 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

1. Каждый из углов $$\angle BAC$$ и $$\angle ACB$$ треугольника $$ABC$$ разделили на три равные части (рис. 310). Докажите, что $$\triangle AMN = \triangle CMN$$.

В треугольнике $$AMC$$ лучи $$AN$$ и $$CN$$ являются биссектрисами углов $$\angle MAC$$ и $$\angle MCA$$, так как каждый из углов $$\angle BAC$$ и $$\angle ACB$$ разделён на три равные части, а точки $$M$$ и $$N$$ лежат на соответствующих трисектрисах.

Тогда

$$\angle MAN=\angle CAN,$$

$$\angle MCN=\angle ACN.$$

Следовательно, точка $$N$$ является центром вписанной окружности треугольника $$AMC$$. Значит, отрезки $$MN$$ и $$AN$$ являются биссектрисами, а углы при основании, опирающиеся на них, равны:

$$\angle AMN=\angle CMN.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\angle AMN=\angle CMN.$$