Упр.565 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 565. В треугольнике АВС отрезок BD — медиана, АВ = 7 см, ВС = 8 см. В треугольники ABD и BDC вписали окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с отрезком BD.

Подробный ответ

Обозначим точки касания вписанных окружностей с отрезком $$BD$$ через $$M_1$$ и $$M_2$$.

Для треугольника $$ABD$$ длина касательной от вершины $$D$$ до точки касания равна $$DM_1 = p_1 — AB$$, где $$p_1$$ — полупериметр треугольника $$ABD$$.

Так как $$BD$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то $$AD = DC = \dfrac{AC}{2}$$.

Тогда для треугольника $$ABD$$:

$$ p_1=\frac{AB+BD+AD}{2} =\frac{7+BD+\frac{AC}{2}}{2} =3{,}5+\frac{1}{2}BD+\frac{1}{4}AC $$

$$ DM_1=p_1-AB =3{,}5+\frac{1}{2}BD+\frac{1}{4}AC-7 =\frac{1}{2}BD+\frac{1}{4}AC-3{,}5 $$

Для треугольника $$CBD$$:

$$ p_2=\frac{CB+BD+CD}{2} =\frac{8+BD+\frac{AC}{2}}{2} =4+\frac{1}{2}BD+\frac{1}{4}AC $$

$$ DM_2=p_2-CB =4+\frac{1}{2}BD+\frac{1}{4}AC-8 =\frac{1}{2}BD+\frac{1}{4}AC-4 $$

Искомое расстояние между точками касания равно

$$ M_1M_2=DM_1-DM_2 $$

$$ M_1M_2=\left(\frac{1}{2}BD+\frac{1}{4}AC-3{,}5\right)-\left(\frac{1}{2}BD+\frac{1}{4}AC-4\right)=0{,}5 $$