Упр.565 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ отрезок $$BD$$ — медиана, $$AB=7\text{ см}$$, $$BC=8\text{ см}$$. В треугольники $$ABD$$ и $$BDC$$ вписали окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с отрезком $$BD$$.

Обозначим точки касания вписанных окружностей с отрезком $$BD$$ через $$M_1$$ и $$M_2$$.

Для треугольника $$ABD$$ длина касательной от вершины $$D$$ до точки касания равна $$DM_1 = p_1 — AB$$, где $$p_1$$ — полупериметр треугольника $$ABD$$.

Так как $$BD$$ — медиана треугольника $$ABC$$, то $$AD = DC = \dfrac{AC}{2}$$.

Тогда для треугольника $$ABD$$:

$$p_1=\frac{AB+BD+AD}{2} =\frac{7+BD+\frac{AC}{2}}{2} =3{,}5+\frac{1}{2}BD+\frac{1}{4}AC$$

$$DM_1=p_1-AB =3{,}5+\frac{1}{2}BD+\frac{1}{4}AC-7 =\frac{1}{2}BD+\frac{1}{4}AC-3{,}5$$

Для треугольника $$CBD$$:

$$p_2=\frac{CB+BD+CD}{2} =\frac{8+BD+\frac{AC}{2}}{2} =4+\frac{1}{2}BD+\frac{1}{4}AC$$

$$DM_2=p_2-CB =4+\frac{1}{2}BD+\frac{1}{4}AC-8 =\frac{1}{2}BD+\frac{1}{4}AC-4$$

Искомое расстояние между точками касания равно

$$M_1M_2=DM_1-DM_2$$

$$M_1M_2=\left(\frac{1}{2}BD+\frac{1}{4}AC-3{,}5\right)-\left(\frac{1}{2}BD+\frac{1}{4}AC-4\right)=0{,}5$$

Ответ

$$0{,}5\text{ см}$$