Упр.564 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 564. В равнобедренный треугольник АВС (АВ = ВС) с основанием 10 см вписана окружность. К этой окружности проведены три касательные, отсекающие от данного треугольника треугольники ADK, BEF и CMN. Сумма периметров этих треугольников равна 42 см. Чему равна боковая сторона данного треугольника?

Обозначим точки касания окружности со сторонами треугольника так, как на рисунке. Тогда от одной и той же внешней точки к окружности проведены равные касательные:

$$AX=AZ,\quad BX=BY,\quad CY=CZ,$$

$$EX=EI,\quad FY=FI,\quad DX=DG,$$

$$KG=KZ,\quad NZ=NH,\quad MH=MY.$$

Рассмотрим треугольник $$ADK$$. Его периметр:

$$P_{ADK}=AD+AK+DK.$$

Так как $$DK=DG+GK$$, а $$AD=AX+DX,\ AK=AZ+KZ,$$ то

$$P_{ADK}=AX+AZ.$$

Аналогично:

$$P_{BEF}=BX+BY,$$

$$P_{CMN}=CY+CZ.$$

Теперь найдём периметр всего треугольника $$ABC$$:

$$P_{ABC}=AB+BC+AC.$$

Так как $$ABC$$ — равнобедренный и $$AB=BC,$$ то

$$P_{ABC}=AB+AB+AC=2AB+AC.$$

С другой стороны, сумма периметров трёх малых треугольников равна периметру большого:

$$P_{ADK}+P_{BEF}+P_{CMN}=P_{ABC}=42.$$

Значит,

$$2AB+AC=42.$$

По условию $$AC=10$$ см, поэтому

$$2AB+10=42,$$

$$2AB=32,$$

$$AB=16.$$

Ответ

$$16\text{ см}$$