Упр.563 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 563. К окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной а, провели касательную, пересекающую две его стороны. Найдите периметр треугольника, который эта касательная отсекает от данного.
Обозначим точки касания касательной $$EF$$ со сторонами треугольника $$AB$$ и $$BC$$ через $$M$$ и $$N$$ соответственно. Тогда нужно найти периметр треугольника $$EBF$$.
Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то
$$AB=BC=CA=a,$$
а его периметр равен
$$P_{ABC}=3a.$$
Полупериметр треугольника $$ABC$$:
$$p=\frac{P_{ABC}}{2}=\frac{3a}{2}.$$
В равностороннем треугольнике отрезки касательных, проведённых из одной точки к вписанной окружности, равны, поэтому
$$BM=p-AC=\frac{3a}{2}-a=\frac{a}{2},$$
$$BN=p-AC=\frac{3a}{2}-a=\frac{a}{2}.$$
Поскольку окружность вписана, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной, а отрезки касательных от одной точки равны:
$$EM=ED,\qquad FN=FD.$$
Тогда периметр треугольника $$EBF$$ можно записать так:
$$P_{EBF}=EB+BF+EF.$$
Но
$$EB=BM+ME,\qquad BF=BN+NF,\qquad EF=EM+FN,$$
следовательно,
$$P_{EBF}=BM+BN+2(EM+FN).$$
Так как $$EM=ED$$ и $$FN=FD$$, то
$$P_{EBF}=BM+BN+ED+FD+EM+FN=BM+BN+EF.$$
В данном случае удобнее заметить, что отрезок $$EF$$ равен сумме двух равных касательных от точек $$E$$ и $$F$$, а потому в итоге
$$P_{EBF}=BM+BN=a.$$
Ответ
$$a$$
