Упр.562 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 562. В треугольник АВС вписана окружность, касающаяся стороны АВ в точке М, ВС = а. Докажите, что АМ = р — а, где р — полупериметр треугольника АВС.

Подробный ответ

Пусть окружность касается сторон $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ в точках $$M$$, $$N$$ и $$K$$ соответственно.

По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, имеем:

$$AM=AK,\quad BM=BN,\quad CN=CK.$$

Тогда периметр треугольника $$ABC$$ можно записать так:

$$ P=AB+BC+AC. $$

Но

$$ AB=AM+BM,\quad BC=BN+CN,\quad AC=AK+CK. $$

Следовательно,

$$ P=(AM+BM)+(BN+CN)+(AK+CK). $$

С учётом равенств $$AK=AM$$, $$BM=BN$$, $$CK=CN$$ получаем:

$$ P=AM+BM+BN+CN+AM+CN=2AM+2BN+2CN. $$