Упр.561 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 561. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его стороне, то этот треугольник прямоугольный.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$ и его описанную окружность с центром $$O$$, причём $$O \in AB$$.

Так как $$O$$ — центр описанной окружности, то

$$OA=OB=OC.$$

Следовательно, треугольники $$AOC$$ и $$BOC$$ равнобедренные. Тогда

$$\angle AOC=180^\circ-2\angle OCA,$$

$$\angle BOC=180^\circ-2\angle OCB.$$

Точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, значит углы $$\angle AOC$$ и $$\angle BOC$$ — смежные, поэтому

$$\angle AOC+\angle BOC=180^\circ.$$

Подставим выражения для этих углов:

$$180^\circ-2\angle OCA+180^\circ-2\angle OCB=180^\circ,$$

$$2\angle OCA+2\angle OCB=180^\circ,$$

$$\angle OCA+\angle OCB=90^\circ.$$

Но луч $$CO$$ делит угол $$ACB$$ на два угла, значит

$$\angle ACB=\angle OCA+\angle OCB=90^\circ.$$

Следовательно, треугольник $$ABC$$ прямоугольный.

Ответ

$$\angle ACB=90^\circ,$$ значит треугольник $$ABC$$ прямоугольный.