Упр.560 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник $$ABC$$, касается его боковых сторон $$AB$$ и $$BC$$ в точках $$M$$ и $$N$$ соответственно. Докажите, что $$MN \parallel AC$$.

Подробный ответ

Рассмотрим окружность, вписанную в треугольник $$ABC$$, и точки касания $$M$$ и $$N$$ со сторонами $$AB$$ и $$BC$$.

Из одной точки к окружности касательные равны, значит

$$BM=BN.$$

Следовательно, треугольник $$MBN$$ равнобедренный, поэтому

$$\angle BMN=\angle BNM=\frac{1}{2}\left(180^\circ-\angle MBN\right).$$

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$AB=BC$$, а значит, его углы при основании равны:

$$\angle BAC=\angle BCA=\frac{1}{2}\left(180^\circ-\angle ABC\right).$$

Но точки $$M$$ и $$N$$ лежат на сторонах $$AB$$ и $$BC$$, поэтому лучи $$BM$$ и $$BA$$ совпадают, а лучи $$BN$$ и $$BC$$ совпадают. Следовательно,

$$\angle MBN=\angle ABC.$$

Тогда

$$\angle BMN=\frac{1}{2}\left(180^\circ-\angle ABC\right)=\angle BAC.$$