Упр.559 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 559. В треугольник с углами 30°, 70° и 80° вписана окружность. Найдите углы треугольника, вершины которого являются точками касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника.

Подробный ответ

Точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника обозначим через $$E$$, $$D$$ и $$F$$. Тогда отрезки, проведённые из одной вершины к точкам касания, равны:

$$AE=AF,\quad CE=CD,\quad BD=BF.$$

Следовательно, треугольники $$AEF$$, $$CED$$ и $$BFD$$ равнобедренные.

Найдём их углы при вершинах:

$$\angle AEF=\angle AFE=\frac{1}{2}(180^\circ-\angle A)=\frac{1}{2}(180^\circ-30^\circ)=75^\circ,$$

$$\angle CED=\angle CDE=\frac{1}{2}(180^\circ-\angle C)=\frac{1}{2}(180^\circ-80^\circ)=50^\circ,$$

$$\angle BFD=\angle BDF=\frac{1}{2}(180^\circ-\angle B)=\frac{1}{2}(180^\circ-70^\circ)=55^\circ.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$EDF$$:

$$\angle FED=180^\circ-\angle AEF-\angle CED=180^\circ-75^\circ-50^\circ=55^\circ,$$

$$\angle EDF=180^\circ-\angle CDE-\angle BDF=180^\circ-50^\circ-55^\circ=75^\circ,$$

$$\angle DFE=180^\circ-\angle BDF-\angle AFE=180^\circ-55^\circ-75^\circ=50^\circ.$$