Упр.558 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 558. Периметр треугольника АВС, описанного около окружности, равен 52 см. Точка касания со стороной АВ делит эту сторону в отношении 2 : 3, считая от вершины А. Точка касания со стороной ВС удалена от вершины С на 6 см. Найдите стороны треугольника.

Подробный ответ

Пусть точки касания окружности со сторонами $$AB, BC, AC$$ — это соответственно $$F, D, E$$. Тогда отрезки касательных, проведённых из одной вершины, равны:

$$AF=AE,\quad BF=BD,\quad CE=CD.$$

По условию $$AF:FB=2:3$$, значит можно положить

$$BF=BD=x,\quad AF=AE=\frac{2}{3}x.$$

Также дано $$CD=6$$, следовательно

$$CE=6.$$

Тогда стороны треугольника равны:

$$AB=AF+FB=\frac{2}{3}x+x=\frac{5}{3}x,$$

$$BC=BD+DC=x+6,$$

$$AC=AE+EC=\frac{2}{3}x+6.$$

По условию периметр треугольника равен $$52$$ см, значит

$$AB+BC+AC=52,$$

$$\frac{5}{3}x+(x+6)+\left(\frac{2}{3}x+6\right)=52.$$