Упр.556 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 556. Докажите, что если центры вписанной и описанной окружностей треугольника совпадают, то этот треугольник равносторонний.

Подробный ответ

Пусть точка $$O$$ — общий центр вписанной и описанной окружностей треугольника $$ABC$$. Тогда точка $$O$$ лежит на биссектрисах всех углов треугольника.

Проведём биссектрисы углов $$\angle CAB$$ и $$\angle ACB$$. Обозначим точки их пересечения со сторонами $$CB$$ и $$AB$$ соответственно через $$E$$ и $$H$$.

Так как $$O$$ — центр вписанной окружности, то он лежит на биссектрисах углов треугольника, значит, $$O \in AE$$ и $$O \in CH$$.

Так как $$O$$ — центр описанной окружности, то он равноудалён от вершин треугольника: $$OA=OB=OC$$. Следовательно, прямая, проходящая через центр описанной окружности и середину хорды, перпендикулярна этой хорде. Поэтому

$$AE \perp CB,\qquad CH \perp AB.$$

Но тогда точки $$E$$ и $$H$$ — середины сторон $$CB$$ и $$AB$$ соответственно, то есть

$$CE=EB,\qquad AH=HB.$$

Итак, в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$AE$$ является и биссектрисой угла $$A$$, и высотой к стороне $$CB$$. Значит, $$AB=AC$$. Аналогично, отрезок $$CH$$ является и биссектрисой угла $$C$$, и высотой к стороне $$AB$$, значит, $$CA=CB$$.

Следовательно,

$$AB=BC=CA,$$

то есть треугольник $$ABC$$ равносторонний.