Упр.555 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 555. Докажите, что если центр окружности, вписанной в треугольник, принадлежит его медиане, то этот треугольник равнобедренный.

Подробный ответ

Пусть окружность вписана в треугольник $$ABC$$, её центр — точка $$O$$, а $$CH$$ — медиана треугольника, причём $$O \in CH$$.

Так как $$O$$ — центр вписанной окружности, то он лежит на биссектрисах углов треугольника. Следовательно, точка $$O$$ принадлежит биссектрисе угла $$C$$, а значит, прямая $$CH$$ совпадает с биссектрисой угла $$C$$.

Но $$CH$$ по условию является и медианой. Значит, в треугольнике $$ABC$$ одна и та же прямая $$CH$$ является одновременно медианой и биссектрисой.

По свойству треугольника, если медиана, проведённая из вершины, является также биссектрисой, то треугольник равнобедренный. Следовательно,

$$AC=BC.$$

Значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.