Упр.554 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 554. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его высоте, то этот треугольник равнобедренный.

Подробный ответ

Рассмотрим окружность, описанную около треугольника $$ABC$$, с центром $$O$$. По условию точка $$O$$ лежит на высоте $$CH$$, значит прямая $$CH$$ проходит через центр окружности и перпендикулярна стороне $$AB$$:

$$CH \perp AB,\quad O \in CH.$$

Так как центр окружности лежит на перпендикуляре к хорде $$AB$$, то эта прямая является серединным перпендикуляром к хорде $$AB$$. Следовательно, точка $$H$$ — середина отрезка $$AB$$, то есть

$$AH = HB.$$

Значит, высота $$CH$$ треугольника $$ABC$$ одновременно является его медианой. Если в треугольнике высота, проведённая из вершины, является медианой, то треугольник равнобедренный. Следовательно,

$$AC = BC,$$

то есть треугольник $$ABC$$ равнобедренный.