Упр.553 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Окружность, вписанная в треугольник $$ABC$$, касается его сторон в точках $$M$$, $$K$$ и $$E$$, $$AM=13\ \text{см}$$, $$BC=8\ \text{см}$$, $$BK=3\ \text{см}$$, периметр треугольника $$ABC$$ равен $$46\ \text{см}$$. Найдите сторону $$AC$$.

Подробный ответ

Так как окружность вписана в треугольник $$ABC$$, то от одной вершины к точкам касания проведены равные касательные:

$$AM=AE,$$ $$BM=BK,$$ $$CK=CE.$$

По условию $$AM=13$$ см, $$BK=3$$ см. Обозначим $$CE=CK=x$$.

Тогда

$$AB=AM+MB=13+3=16,$$

$$BC=BK+KC=3+x,$$

$$AC=AE+EC=13+x.$$

Используем периметр треугольника:

$$P_{ABC}=AB+BC+AC.$$

Подставим известные значения:

$$46=16+(3+x)+(13+x).$$