Упр.551 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

1. Через центр $$O$$ окружности, описанной около треугольника $$ABC$$, провели прямую, перпендикулярную стороне $$AC$$ и пересекающую сторону $$AB$$ в точке $$M$$. Докажите, что $$AM=MC$$.

Рассмотрим окружность, описанную около треугольника $$ABC$$. Так как центр окружности $$O$$ лежит на прямой $$ME$$, а $$ME \perp AC$$, то прямая $$ME$$ проходит через середину хорды $$AC$$. Следовательно, точка $$E$$ — середина отрезка $$AC$$, то есть

$$AE=EC.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AMC$$. В нём отрезок $$ME$$ проведён из вершины $$M$$ к стороне $$AC$$ и делит её пополам, значит, $$ME$$ — медиана. Кроме того, по условию $$ME \perp AC$$, значит, $$ME$$ — высота.

Если в треугольнике медиана является высотой, то треугольник равнобедренный. Поэтому

$$AM=MC.$$

Ответ

$$AM=MC$$