Упр.550 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

На рисунке 308 в треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$ вписаны окружности с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ соответственно, $$\angle ABC=50^\circ$$. Найдите угол $$\angle O_1BO_2$$.

Для окружности, вписанной в треугольник, центр лежит на биссектрисе угла. Поэтому в треугольнике $$ABD$$ точка $$O_1$$ лежит на биссектрисе угла $$\angle ABD$$, а в треугольнике $$CBD$$ точка $$O_2$$ лежит на биссектрисе угла $$\angle CBD$$.

Тогда

$$\angle O_1BD=\frac{1}{2}\angle ABD,$$

$$\angle O_2BD=\frac{1}{2}\angle CBD.$$

Угол $$\angle O_1BO_2$$ состоит из этих двух углов, значит

$$\angle O_1BO_2=\angle O_1BD+\angle O_2BD.$$

Так как точки $$A, D, C$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle ABD+\angle CBD=\angle ABC.$$

Следовательно,

$$\angle O_1BO_2=\frac{1}{2}\angle ABD+\frac{1}{2}\angle CBD=\frac{1}{2}\left(\angle ABD+\angle CBD\right)=\frac{1}{2}\angle ABC.$$

Подставим значение:

$$\angle O_1BO_2=\frac{1}{2}\cdot 50^\circ=25^\circ.$$

Ответ

$$25^\circ$$