Упр.549 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 549. На рисунке 307 в треугольники ABD и CBD вписаны окружности с центрами O_1 и O_2, соответственно. Докажите, что ?(O_1 D O_2), прямой.

Подробный ответ

Пусть $$O_1$$ и $$O_2$$ — центры вписанных окружностей в треугольники $$ABD$$ и $$CBD$$.

Тогда радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны соответствующим сторонам, а центр вписанной окружности лежит на биссектрисе угла треугольника. Поэтому

$$\angle BDO_1=\frac{1}{2}\angle BDA,$$

$$\angle BDO_2=\frac{1}{2}\angle BDC.$$

Луч $$DO_1$$ лежит внутри угла $$\angle BDO_2$$, а луч $$DO_2$$ — по другую сторону от луча $$DB$$, поэтому

$$\angle O_1DO_2=\angle BDO_1+\angle BDO_2.$$

Подставим найденные выражения:

$$\angle O_1DO_2=\frac{1}{2}\angle BDA+\frac{1}{2}\angle BDC=\frac{1}{2}\left(\angle BDA+\angle BDC\right).$$

Так как точки $$A, D, C$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle BDA+\angle BDC=\angle ADC=180^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle O_1DO_2=\frac{1}{2}\cdot 180^\circ=90^\circ.$$

Значит, $$\angle O_1DO_2$$ — прямой.