Упр.548 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 548. Докажите, что центр описанной окружности равностороннего треугольника является точкой пересечения его биссектрис.

Пусть $$\triangle ABC$$ — равносторонний. Тогда его биссектрисы одновременно являются медианами и высотами.

Следовательно, прямая $$AE$$, проведённая из вершины $$A$$, является и биссектрисой угла $$A$$, и медианой, и высотой. Аналогично, прямая $$CH$$, проведённая из вершины $$C$$, также является биссектрисой, медианой и высотой.

Точка $$O$$ — центр описанной окружности треугольника $$ABC$$. Центр описанной окружности лежит на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника. Так как в равностороннем треугольнике высота совпадает с серединным перпендикуляром, то точка $$O$$ лежит на высоте $$AE$$ и на высоте $$CH$$.

Но высоты $$AE$$ и $$CH$$ являются одновременно биссектрисами углов $$A$$ и $$C$$. Значит, точка $$O$$ принадлежит обеим биссектрисам, то есть является точкой их пересечения.

Итак, центр описанной окружности равностороннего треугольника совпадает с точкой пересечения его биссектрис.

Ответ

$$O$$ — точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника.