Упр.547 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 547. Докажите, что если центр вписанной окружности треугольника принадлежит его высоте, то этот треугольник равнобедренный.

Рассмотрим окружность с центром $$O$$, вписанную в треугольник $$ABC$$. По условию $$O \in CH$$, где $$CH$$ — высота треугольника.

Так как центр вписанной окружности равноудалён от сторон треугольника, то расстояния от точки $$O$$ до прямых $$AC$$ и $$BC$$ равны. Следовательно, точка $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$C$$.

Но точка $$O$$ лежит и на высоте $$CH$$. Значит, прямая $$CH$$ является одновременно высотой и биссектрисой угла $$C$$, то есть

$$\angle ACH=\angle BCH.$$

Тогда в треугольниках $$ACH$$ и $$BCH$$:

• $$\angle AHC=\angle BHC=90^\circ$$,
• $$\angle ACH=\angle BCH$$,
• $$CH$$ — общая сторона.

Следовательно, треугольники $$ACH$$ и $$BCH$$ равны, откуда

$$AC=BC.$$

Значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

Ответ

$$\triangle ABC$$ равнобедренный.