Упр.546 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

1. Докажите, что центр вписанной окружности равнобедренного треугольника принадлежит высоте, проведённой к его основанию.

В равнобедренном треугольнике $$\triangle ABC$$ с основанием $$AB$$ высота $$CH$$, проведённая к основанию, одновременно является биссектрисой угла при вершине $$C$$.

Пусть $$O$$ — центр вписанной окружности треугольника $$ABC$$. Тогда точка $$O$$ лежит на биссектрисе любого угла треугольника, в частности на биссектрисе угла $$\angle ACB$$.

Но биссектриса угла $$\angle ACB$$ совпадает с высотой $$CH$$. Следовательно, точка $$O$$ принадлежит прямой $$CH$$, то есть

$$O \in CH.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$O \in CH$$.