Упр.544 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 544. Начертите равнобедренный треугольник. Выполните задания 1, 2 и 3 из задания 543.

Пусть дан равнобедренный треугольник $$ABC$$, где $$AC=BC$$. Чтобы вписать в него окружность, построим биссектрисы углов треугольника.

Проведём луч $$AA_1$$ так, чтобы $$\angle BAA_1=\angle CAA_1=\frac{1}{2}\angle BAC$$.

Проведём луч $$BB_1$$ так, чтобы $$\angle ABB_1=\angle CBB_1=\frac{1}{2}\angle ABC$$.

Точка пересечения биссектрис $$AA_1$$ и $$BB_1$$ обозначим через $$O$$. Это центр вписанной окружности.

Теперь найдём точки касания окружности со сторонами треугольника. Для этого из точки $$O$$ опустим перпендикуляры на стороны $$BC$$, $$AC$$ и $$AB$$. Обозначим основания этих перпендикуляров через $$H_1$$, $$H_2$$ и $$H_3$$ соответственно.

Так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то точки $$H_1$$, $$H_2$$ и $$H_3$$ и будут точками касания вписанной окружности со сторонами треугольника.

Следовательно, окружность с центром $$O$$ и радиусом $$OH_1$$ касается всех трёх сторон треугольника $$ABC$$.

Ответ: окружность вписана в равнобедренный треугольник; её центр — точка пересечения биссектрис, точки касания лежат в основаниях перпендикуляров, опущенных из центра на стороны треугольника.