Упр.543 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

1) Пользуясь линейкой и транспортиром, найдите центр окружности, вписанной в данный треугольник.
2) Пользуясь угольником, найдите точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника.
3) Впишите в данный треугольник окружность.

Пусть дан разносторонний треугольник $$ABC$$.

1) Чтобы найти центр вписанной окружности, проведём биссектрисы двух углов треугольника, например углов $$A$$ и $$B$$. Для этого с помощью линейки и транспортира разделим каждый из этих углов пополам и проведём соответствующие лучи. Точка их пересечения $$O$$ — центр вписанной окружности.

2) Чтобы найти точки касания окружности со сторонами треугольника, из точки $$O$$ опустим перпендикуляры на стороны $$AB$$, $$BC$$ и $$CA$$. Основания этих перпендикуляров обозначим $$H_1$$, $$H_2$$ и $$H_3$$. Эти точки и будут точками касания вписанной окружности со сторонами треугольника.

3) Проведём окружность с центром $$O$$ и радиусом, равным расстоянию от $$O$$ до любой из сторон треугольника, например $$OH_1$$. Тогда эта окружность касается всех трёх сторон треугольника и является вписанной.

Ответ: центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника; точки касания — основания перпендикуляров, опущенных из центра на стороны; окружность строится с центром в этой точке и радиусом, равным расстоянию до стороны.