Упр.538 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 538. В остроугольном треугольнике АВС проведена биссектриса ВМ, из точки М на сторону ВС опущен перпендикуляр МК, ?АВМ = ?KMC. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BMK$$. Так как $$MK \perp BC$$, а точки $$K$$ и $$B$$ лежат на прямой $$BC$$, то $$\angle BKM=90^\circ$$.

По условию $$\angle ABM=\angle KMC$$, а поскольку $$BM$$ — биссектриса угла $$ABC$$, то $$\angle ABM=\angle MBC$$. Значит,

$$\angle MBC=\angle KMC.$$

В треугольнике $$BMK$$ сумма острых углов равна $$90^\circ$$, поэтому

$$\angle BMK+\angle MBK=90^\circ.$$

Но $$\angle MBK=\angle MBC$$, следовательно,

$$\angle BMK+\angle MBC=90^\circ.$$

Так как $$\angle MBC=\angle KMC$$, получаем

$$\angle BMK+\angle KMC=90^\circ.$$

Тогда

$$\angle BMC=\angle BMK+\angle KMC=90^\circ.$$

Значит, $$BM \perp AC$$, потому что точки $$A, M, C$$ лежат на одной прямой.

Итак, в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$BM$$ является и биссектрисой угла $$ABC$$, и высотой. Следовательно, $$AB=BC$$, то есть треугольник $$ABC$$ равнобедренный.