Упр.537 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 537. На стороне МК треугольника МРК отметили точки Е и F так, что точка Е лежит между точками М и F, ME = ЕР, PF = FK. Найдите угол М, если ?EPF = 92°, ?K = 26°.

1) Рассмотрим треугольник $$PFK$$. По условию $$PF=FK$$, значит, он равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle FPK=\angle PKF.$$

Так как $$\angle PKF=26^\circ$$, то

$$\angle FPK=26^\circ.$$

Угол $$\angle PFE$$ — внешний угол треугольника $$PFK$$, поэтому

$$\angle PFE=\angle FPK+\angle PKF=26^\circ+26^\circ=52^\circ.$$

2) В треугольнике $$EPF$$ сумма углов равна $$180^\circ$$:

$$\angle PEF+\angle EPF+\angle PFE=180^\circ.$$

Подставим известные значения:

$$\angle PEF+92^\circ+52^\circ=180^\circ,$$

откуда

$$\angle PEF=36^\circ.$$

3) Рассмотрим треугольник $$PEM$$. По условию $$ME=EP$$, значит, он равнобедренный, и

$$\angle EPM=\angle PME.$$

Угол $$\angle PEF$$ — внешний угол треугольника $$PEM$$, поэтому

$$\angle PEF=\angle EPM+\angle PME.$$

Тогда

$$36^\circ=2\angle PME,$$

$$\angle PME=18^\circ.$$

Но $$\angle PME=\angle M$$, следовательно,

$$\angle M=18^\circ.$$

Ответ

$$18^\circ$$