Упр.536 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Отрезки $$\mathrm{АВ}$$ и $$\mathrm{CD}$$ лежат на одной прямой и имеют общую середину. Точку $$M$$ выбрали так, что треугольник $$\mathrm{АМВ}$$ равнобедренный с основанием $$\mathrm{АВ}$$. Докажите, что треугольник $$\mathrm{CMD}$$ также является равнобедренным с основанием $$\mathrm{CD}$$.

Подробный ответ

Так как $$\triangle AMB$$ равнобедренный с основанием $$AB$$, то точка $$M$$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $$AB$$. Значит, прямая, проходящая через середину $$H$$ отрезка $$AB$$ и точку $$M$$, является и медианой, и высотой:

$$AH=HB,$$

$$MH \perp AB.$$

По условию точки $$A, B, C, D$$ лежат на одной прямой, а отрезки $$AB$$ и $$CD$$ имеют общую середину $$H$$. Следовательно, $$H$$ — середина и отрезка $$CD$$, то есть

$$CH=HD.$$

Так как прямые $$AB$$ и $$CD$$ совпадают, то из $$MH \perp AB$$ получаем

$$MH \perp CD.$$

Итак, в треугольнике $$CMD$$ прямая $$MH$$ проходит через середину $$CD$$ и перпендикулярна ему. Значит, $$MH$$ является серединным перпендикуляром к отрезку $$CD$$. Тогда

$$MC=MD.$$

Следовательно, $$\triangle CMD$$ равнобедренный с основанием $$CD$$.