Упр.534 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

1. Через точку $$C$$ проведены касательные $$AC$$ и $$BC$$ к окружности, $$A$$ и $$B$$ — точки касания (рис. 299). На окружности взяли произвольную точку $$M$$, лежащую в одной полуплоскости с точкой $$C$$ относительно прямой $$AB$$, и через неё провели касательную к окружности, пересекающую прямые $$AC$$ и $$BC$$ в точках $$D$$ и $$E$$ соответственно. Докажите, что периметр треугольника $$DEC$$ не зависит от выбора точки $$M$$.

Так как $$CA$$ и $$CB$$ — касательные, проведённые из одной точки $$C$$, то

$$CA=CB.$$

Точка $$D$$ — точка касания касательной $$DE$$ с окружностью, а точки $$A$$ и $$M$$ лежат на одной касательной прямой, поэтому отрезки касательных, проведённых из одной точки $$D$$, равны:

$$DA=DM.$$

Аналогично из точки $$E$$ получаем:

$$EB=EM.$$

Теперь рассмотрим периметр треугольника $$DEC$$:

$$P_{DEC}=DE+DC+CE.$$

Так как $$D$$ лежит на отрезке $$AM$$, а $$E$$ — на отрезке $$BM$$, то

$$DE=DM+ME.$$

Следовательно,

$$P_{DEC}=DM+ME+DC+CE.$$

Подставим равные отрезки:

$$P_{DEC}=DA+EB+DC+CE.$$

Так как точки $$D$$ и $$A$$ лежат на одной касательной из точки $$C$$, а точки $$E$$ и $$B$$ — на другой, то

$$DA=CA,\qquad EB=CB.$$

Тогда

$$P_{DEC}=CA+CB.$$

Правая часть не зависит от выбора точки $$M$$, значит, и периметр треугольника $$DEC$$ не зависит от выбора точки $$M$$.

Ответ

$$P_{DEC}=CA+CB$$, поэтому периметр треугольника $$DEC$$ не зависит от выбора точки $$M$$.