Упр.534 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 534. Через точку С проведены касательные АС и ВС к окружности, А и В — точки касания (рис. 299). На окружности взяли произвольную точку М, лежащую в одной полуплоскости с точкой С относительно прямой АВ, и через неё провели касательную к окружности, пересекающую прямые АС и ВС в точках D и Е соответственно. Докажите, что периметр треугольника DEC не зависит от выбора точки M.

Подробный ответ

Так как $$CA$$ и $$CB$$ — касательные, проведённые из одной точки $$C$$, то

$$CA=CB.$$

Точка $$D$$ — точка касания касательной $$DE$$ с окружностью, а точки $$A$$ и $$M$$ лежат на одной касательной прямой, поэтому отрезки касательных, проведённых из одной точки $$D$$, равны:

$$DA=DM.$$

Аналогично из точки $$E$$ получаем:

$$EB=EM.$$

Теперь рассмотрим периметр треугольника $$DEC$$:

$$P_{DEC}=DE+DC+CE.$$

Так как $$D$$ лежит на отрезке $$AM$$, а $$E$$ — на отрезке $$BM$$, то

$$DE=DM+ME.$$

Следовательно,

$$ P_{DEC}=DM+ME+DC+CE. $$

Подставим равные отрезки:

$$ P_{DEC}=DA+EB+DC+CE. $$

Так как точки $$D$$ и $$A$$ лежат на одной касательной из точки $$C$$, а точки $$E$$ и $$B$$ — на другой, то